Question

已知F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P（

a

4

，t）为椭圆C上第一象限的点，过点P作两互相垂直的直线L₁、L₂，L₁经过椭圆C左顶点A，L₂经过右焦点F₂．
（1）求椭圆离心率；
（2）将直线L₁绕点P逆时针旋转30°后，直线L₁通过左焦点F₁，且与椭圆交于B点，此时△PF₂B的面积为

35 3

11

，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用

AP

•

F2P

=0，可得t²=

5a

4

c-

5a2

16

，根据P在椭圆上可得

1

16

+

t2

b2

=1，由此可求椭圆离心率；
（2）利用tan30°=tan（β-α）=

3

3

，F₁P：y=

4t

a+4c

（x+c），

x02

a2

+

y02

b2

=1，△PF₂B的面积为

35 3

11

，即可求椭圆C的方程．

解答： 解：（1）由题意得：A（-a，0）、P（

a

4

，t）、F₁（-c，0）、F₂（c，0）
∴

AP

=（

5a

4

，t）、

F2P

=（

a

4

-c，t），
∴

AP

•

F2P

=

5a2

16

-

5a

4

c+t²=0，
∴t²=

5a

4

c-

5a2

16

①
∵P在椭圆上
∴

1

16

+

t2

b2

=1  ②
联合①②得
15（a²-c²）=20ac-5a²，
整理得（3e-2）（e+2）=0
∴e=

2

3

或e=-2舍
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H
tanα=tan∠HPF₁=

c+ a 4

t

，tanβ=tan∠APH=

a+ a 4

t

tan30°=tan（β-α）=

3

3

③
设B（x₀，y₀），则k_F1P=

4t

a+4c

F₁P：y=

4t

a+4c

（x+c）  ④
∵B在椭圆上
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1  ⑤
∵△PF₂B的面积为

35 3

11

，
∴S=

1

2

•2c•t+

1

2

•2c•y₀=

35 3

11

，⑥
联合③④⑤⑥得a²=9，c²=4
∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．