Question

如图，已知连接椭圆

x2

a2

+y²=1（a＞1）的四个顶点得到的菱形的面积为2

2

，设A（0，1），B（0，-1），过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D不同于点C），交y轴于点P（点P不同于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．
（1）求a的值；
（2）判断

OP

•

OQ

是否为定值，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出4×

1

2

×a×1=2

2

，由此能求出a=

2

．
（2）椭圆方程为

x2

2

+y2=1，其右顶点为C（

2

，0），设直线CD：y=k（x-

2

），联立直线CD和椭圆的方程，得：（1+2k²）x²-4

2

k²x+4k²-2=0，由此能推导出

OP

•

OQ

为定值1．

解答： 解：（1）∵连接椭圆

x2

a2

+y²=1（a＞1）的四个顶点得到的菱形的面积为2

2

，
∴4×

1

2

×a×1=2

2

，
解得a=

2

．
（2）

OP

•

OQ

为定值，证明如下：
由（1）知椭圆方程为

x2

2

+y2=1，
其右顶点为C（

2

，0），
设直线CD：y=k（x-

2

），k≠0，
则点P的坐标为（0，-

2

k），
联立直线CD和椭圆的方程，得：（1+2k²）x²-4

2

k²x+4k²-2=0，
由韦达定理，得xC•xD=

4k2-2

1+2k2

，
∴xD=

2 2 k2- 2

1+2k2

，
设点Q的坐标为（x′，y′），直线BC的方程为：y=

1

2

(x-

2

)，
A、Q、D三点共线，
则

y′= 1 2 (x′- 2 ) y′-1 x′ = y0-1 x0

，
∴

y′-1

y′+1

=

2 (y0-1)

x0

=

2 [k(x0- 2 )-1]

x0

=

2 k+1

1- 2 k

，
解得y′=-

1

2 k

，
则

OP

•

OQ

=（0，-

2

k）•（x′，-

1

2 k

）=1，
∴

OP

•

OQ

为定值1．

点评：本题考查椭圆中参数的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．