Question

设数列{a_n}为等比数列，T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n，已知T₁=1，T₂=5．
（1）求数列{a_n}的首项和公比；
（2）求数列{T_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意，首先设出等比数列的公比为q，利用T₁=1，T₂=5，求出数列的首项与公比，即可求数列的通项；
（2）根据错位相减法推出T_n的通项公式即可．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则T₁=a₁，T₂=a₁+2a₂=a₁（1+2q）．
∵T₁=1，T₂=5，代入解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）T_n=1×1+2×2+…+n×2^n-1①；
2T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②，
②-①可得T_n=-1×1-1×2-1×2²+…-1×2^n-1+n×2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）×2ⁿ．

点评：本题主要考查等比数列的通项与求和，正确处理T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n是关键．