Question

设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC+

1

2

c=b．
（1）求A的大小；
（2）若a=

3

，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）由正弦定理得可得

1

2

sinC=cosAsinC∵sinC≠0，可求得cosA=

1

2

，0＜A＜π，故A=

π

3

；
（2）b+c的值可求得为2

3

sin（B+

π

6

），因为B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，故有sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，从而可求b+c∈(

3

，2

3

]．

解答： 解：（1）由正弦定理得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

又∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理得：∵b=

asinB

sinA

=2sinB，c=

asinC

sinA

=2sinC，
又由（1）知：B+C=

2π

3

∴C=

2π

3

-B
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+sin(

2π

3

-B)=2

3

sin(B+

π

6

)，
∵A=

π

3

，
∴B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
∴b+c∈(

3

，2

3

]．

点评：本题主要考察了正弦定理的综合应用，三角函数值域的求法，属于中档题．