Question

设F₁，F₂是焦距等于6的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则C的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₁|＞|PF₂|，由已知条件求出|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，利用余弦定理，结合焦距等于6，求出a，b，即可得到双曲线的方程．

解答： 解：设|PF₁|＞|PF₂|，则|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a．
则∠PF₁F₂是△PF₁F₂的最小内角为30°，
∴|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2c×

3

2

，
c=3代入可得a=

3

，
∴b=

9-3

=6，
∴C的方程为

x2

3

-

y2

6

=1．
故答案为：

x2

3

-

y2

6

=1．

点评：本题考查双曲线的方程的求法，考查余弦定理，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．