Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₂+a₄=18，S₇=91．递增的等比数列{b_n}前n项和为T_n，满足：b₁+b_k=66，b₂b_k-1=128，T_k=126．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对?n∈N^*，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出公差和首项，由此能求出a_n；由已知条件推导出b₁，b_k方程x²-66x+128=0的两根，再由Sk=

b1(1-qk-1)

1-q

=

b1-bkq

1-q

=126，能求出q，由此能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知条件推导出

cn

bn

=an+1-an=4，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₃．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₂+a₄=18，S₇=91，
∴

a1+d+a1+3d=18 7a1+ 7×6 2 d=91

，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=4n-3（2分）
∵递增的等比数列{b_n}前n项和为T_n，
满足：b₁+b_k=66，b₂b_k-1=128，T_k=126，
b₂b_k-1=b₁b_k，
∴b₁，b_k方程x²-66x+128=0的两根，
解得b₁=2，b_k=64（4分）
∵Sk=

b1(1-qk-1)

1-q

=

b1-bkq

1-q

=126，
b₁=2，b_k=64代入，得q=2，
∴bn=2n．（6分）
（Ⅱ）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an(n≥2)，
相减有

cn

bn

=an+1-an=4，
∴n≥2，cn=4bn=2n+2，（9分）
又

c1

b1

=a2，得c₁=10，
cn=

10(n=1) 2n+2(n≥2)

，
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=10+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-6．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．