Question

4．中心在原点，一焦点为${F_1}（0，-5\sqrt{2}）$的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为$\frac{1}{2}$，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 由题意可知：设$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则c=5$\sqrt{2}$，则$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0，由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{12{b}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$，由中点坐标公式可知：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求得a²=15b²，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=50}\\{{a}^{2}=3{b}^{2}}\end{array}\right.$，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=25}\\{{b}^{2}=75}\end{array}\right.$，即可求得椭圆方程．

解答 解：由题意可知：焦点为${F_1}（0，-5\sqrt{2}）$，可知焦点在y轴上，
设$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则c=5$\sqrt{2}$，
直线y=3x-2与椭圆相交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{12{b}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$，
由中点坐标公式可得，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{6{b}^{2}}{{a}^{2}+9{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：a²=15b²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=50}\\{{a}^{2}=3{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=25}\\{{b}^{2}=75}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．