Question

已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为4

17

，数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（I）求函数f（x）；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设bn=

(an-1)g(n)

4

，(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），(

4

a

+1，

16

a

)，由

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

17

(a＞0)，由此得到f（x）．
（II）由（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0，知（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，所以a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（III）先表示出数列{b_n}的通项，再用错位相减法求和．

解答：解：（I）设f（x）=a（x-1）²（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），(

4

a

+1，

16

a

)…（2分）
∵

( 4 a )2+( 16 a )2

=4

17

 (a＞0)∴a=1，f（x）=（x-1）²…（4分）
（II）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0…（5分）
∵a₁=2，∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0…（6分）
∴a_n+1-1=

3

4

(an-1)，a1-1=1
数列{a_n-1}是首项为1，公比为

3

4

的等比数列…（8分）
∴an-1=(

3

4

)n-1，an=(

3

4

)n-1+1…（9分）
(III)∵bn=

(an-1)g(n)

4

=

( 3 4 )n-1•4(n-1)

4

=(n-1)•(

3

4

)n-1…(10分)
∴Tn=1•(

3

4

)1+2•(

3

4

)2+3•(

3

4

)3+…+(n-1)•(

3

4

)n-1

3

4

Tn=1•(

3

4

)2+2•(

3

4

)3+3•(

3

4

)4+…+(n-1)•(

3

4

)n
相减，得

1

4

Tn=(

3

4

)1+(

3

4

)2+(

3

4

)3+…+(

3

4

)n-1-(n-1)•(

3

4

)n
=

3 4 [1-( 3 4 )n-1]

1- 3 4

-(n-1)•(

3

4

)n=3-3•(

3

4

)n-1-(n-1)•(

3

4

)n(13分)
Tn=12-4(n+3)(

3

4

)n…(14分)

点评：本题以函数为载体，考查数列知识，考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．