Question

13．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-（a-1）lnx．
（1）讨论f（x）在[1，e]上得单调性；
（2）已知g（x）=f（x）-x在[1，e]上单调递减，讨论f（x）在[1，e]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断f′（x）的符号，从而求出函数的单调区间；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（x-a）（x+1）}{{x}^{2}}$，
a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]递增；
1＜a＜e时，若x∈[1，a]，则f′（x）≤0，若x∈（a，e]，则f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，a]递减，在（a，e]递增；
a≥e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]递减；
（2）∵g（x）=f（x）-x在[1，e]上单调递减，
∴g′（x）=f′（x）-1=$\frac{（1-a）x-a}{{x}^{2}}$≤0在[1，e]上恒成立，
即x∈[1，e]时，a≥1-$\frac{1}{x+1}$恒成立，
而函数y=1-$\frac{1}{x+1}$在[1，e]递增，故a≥1-$\frac{1}{e+1}$，
当1-$\frac{1}{e+1}$≤a≤1时，由（1）得f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）=1+a＞0，
∴f（x）在[1，e]上无零点；
当1＜a＜e时，由（1）得f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，
f（x）_min=f（a）=1+a-（a-1）lna＞a+1-（a-1）=2＞0，
∴f（x）在[1，e]上无零点；
当a≥e时，由（1）得f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=e+$\frac{a}{e}$-（a-1），
若e≤a＜$\frac{e（e+1）}{e-1}$，则f（x）_min=f（e）＞0，
∴f（x）在[1，e]上无零点；
若a≥$\frac{e（e+1）}{e-1}$，则f（x）_min=f（e）≤0，f（x）_max=f（1）=1+a＞0，
∴f（x）在[1，e]上有1个零点；
综上：a≥$\frac{e（e+1）}{e-1}$时，f（x）在[1，e]上有1个零点；
1-$\frac{1}{e+1}$≤a＜$\frac{e（e+1）}{e-1}$时，f（x）在[1，e]上无零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道综合题．