Question

5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=3，BC=6，PB=3$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若PC中点为E，求证：DE∥平面PAB；
（Ⅱ）若∠PAB=60°，求直线DC与平面PAB成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取PB的中点F，连结AF，EF．则四边形ADEF为平行四边形于是DE∥AF，从而DE∥平面PAB；
（II）过A作AG∥CD交BC于G，由面面垂直的性质得出BG⊥平面PAB，于是∠BAG为所求的角．

解答 证明（ I）取PB的中点F，连结AF，EF．
∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形．
∴DE∥EF，又DE?平面PAB，AF?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．
（ II）过A作AG∥CD交BC于G，
则四边形ADCG是平行四边形，
∴CG=AD=3，∴BG=3．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠GAB为AG与平面PAB所成的角．
∵PA=3，PB=3$\sqrt{3}$，∠PAB=60°，
∴cos60°=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$=$\frac{1}{2}$．解得AB=6．
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∴cos∠BAG=$\frac{AB}{AG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵CD∥AG，
∴直线DC与平面PAB成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．