Question

2．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：ln[2•3•4•…（n+1）]²≤n（n+1）（n∈N，n＞1）

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f′（x）=$\frac{1}{x}$-k．能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（$\frac{1}{k}$），由此能确定实数k的取值范围；
（3）根据lnx≤x-1，得到ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+…+n，整理即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-k．
当k≤0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈（0，$\frac{1}{k}$）时，有f′（x）＞0，
若x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）时，有f′（x）＜0，
则f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上是增函数，在（$\frac{1}{k}$，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值为f（$\frac{1}{k}$），要使f（x）≤0恒成立，
则f（$\frac{1}{k}$）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1；
（3）由（2）得：k=1时，lnx≤x-1，
令x=2，3，4，…，n+1，
则ln2＜2-1=1，ln3＜3-1=2，ln4＜4-1=3，…，ln（n+1）＜（n+1）-1=n，
左右两边分别相加得：ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+…+n，
∴ln（2•3•4…（n+1））≤$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴ln[2•3•4•…（n+1）]²≤n（n+1）（n∈N，n＞1）．

点评 本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．