Question

已知函数f（x）=（x-1）e^x-x²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，k]（k＞0）上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，即可求函数f（x）在区间[0，k]（k＞0）上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f′（x）=x（e^x-2）＞0，可得x＜0或x＞ln2，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（ln2，+∞）；
由f′（x）=x（e^x-2）＜0，可得0＜x＜ln2，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，ln2）；
（Ⅱ）∵f（0）=f（1）=-1，且f（x）在（0，ln2）上递减，在（ln2，1）上递增，
∴0＜k≤1时，f（x）_max=f（0）=-1，
k＞1时，f（x）_max=f（k）=（k-1）e^k-k²．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．