Question

给定函数f（x）和常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“好数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类好数对”．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞）．
（Ⅰ）若（1，1）是函数f（x）的一个“好数对”，且f（1）=3，求f（16）；
（Ⅱ）若（2，0）是函数f（x）的一个“好数对”，且当1＜x≤2时，f（x）=

2x-x2

，求证：函数y=f（x）-x在区间（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）若（2，-2）是函数f（x）的一个“类好数对”，f（1）=3，且函数f（x）单调递增，比较f（x）与

x

2

+2的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，则f（2ⁿ）=f（2^n-1）+1，从而可得则数列{f（2ⁿ）}成等差数列，从而求解；
（Ⅱ）先证明当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹时，f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2nf(

x

2n

)=2n

2x 2n -( x 2n )2

=

2n+1x-x2

，从而令

2n+1x-x2

=x，无解，从而说明函数y=f（x）-x在区间（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）由题意，f（2x）≥2f（x）-2，从而可证f（2ⁿ）≥2ⁿ+2；进而可得f（x）＞f（2^n-1）≥2^n-1+2≥

x

2

+2．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，
则f（2ⁿ）=f（2^n-1）+1，
则数列{f（2ⁿ）}成等差数列，公差为d=1，首项f（1）=3，
于是f（16）=7；
（Ⅱ）证明：当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹时，1＜

x

2n

≤2，
则由题意得，
f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2nf(

x

2n

)=2n

2x 2n -( x 2n )2

=

2n+1x-x2

；
由f（x）-x=0得，

2n+1x-x2

=x，
解得x=0或x=2ⁿ均不符合条件；
即当2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹时，函数y=f（x）-x在区间（1，+∞）上无零点；
注意到（1，+∞）=（1，2]∪（2，2²]∪…∪（2ⁿ，2ⁿ⁺¹]∪…
故函数y=f（x）-x在区间（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）由题意，f（2x）≥2f（x）-2，
则f（2ⁿ）≥2f（2^n-1）-2，
即f（2ⁿ）-2≥2[f（2^n-1）-2]；
于是f（2ⁿ）-2≥2[f（2^n-1）-2]≥2²[f（2^n-1）-2]≥…≥2ⁿ，
即f（2ⁿ）≥2ⁿ+2；
而对任意x＞1，必存在n∈N^*，使得2^n-1＜x≤2ⁿ；
由f（x）单调递增得，
f（2^n-1）＜f（x）≤f（2ⁿ）；
则f（x）＞f（2^n-1）≥2^n-1+2≥

x

2

+2；
故f（x）＞

x

2

+2．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力，同时考查了数列与函数的关系及应用，属于难题．