Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC, 点D是AB的中点.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；

（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3)见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知先证明CD⊥AB，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥CD，且AB∩AA1=A，即可证明CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC1；由线面平行的判定定理即可证明AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）存在点M为B，由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，又A1BA1ABB1，可得CD⊥A1B，由已知可得A1A：AB=BD：BB1=1: ，即证明A1B⊥B1D，又CD∩B1D=D，从而证明A1B⊥平面CDB1．

试题解析：

证明：（Ⅰ）∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1, ∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB, 面ABC面A1ABB1 ＝AB ∴CD⊥平面A1ABB1

（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1

∵DE平面CDB1 , AC1平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1.

（Ⅲ）存在点M为B. 由（Ⅰ）知 CD⊥平面A1ABB，又 A1B平面A1ABB，∴CD⊥A1B

∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．

∴A1A : AB＝BD : BB1＝1: , ∴A1B⊥B1D, 又CDB1D＝D, ∴A1B⊥平面CDB1.