Question

1．“a=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为4”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 由a=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx利用微积分的几何意义：a表示的是单位圆的面积的$\frac{1}{4}$，可得a．函数y=cos²ax-sin²ax=cos2ax，其周期T=$\frac{2π}{|2a|}$=$\frac{π}{|a|}$=4，解得a，即可判断出关系．

解答 解：利用微积分的几何意义知，a=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示的是单位圆的面积的$\frac{1}{4}$，因此a=$\frac{π}{4}$．
函数y=cos²ax-sin²ax=cos2ax，其周期T=$\frac{2π}{|2a|}$=$\frac{π}{|a|}$=4，解得a=$±\frac{π}{4}$．
∴“a=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为4”的充分非必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了微积分基本定理、三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．