Question

12．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asinB，A为锐角
（1）若a=3，b=$\sqrt{6}$，求角B；
（2）若S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b+c=3，b＞c，求b，c．

Answer 1

分析 （1）将a，b代入条件式计算得出B，根据a＞b可知B为锐角，从而得出B；
（2）利用正弦定理将边化角，得出sinA，利用面积公式得出bc，结合b+c=3，解方程组得出b，c．

解答 解：（1）∵b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asinB，∴$\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}×3sinB$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A是锐角，a＞b，∴B$＜A＜\frac{π}{2}$．
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asinB，∴sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinAsinB，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A是锐角，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴bc=2．
又b+c=3，b＞c，∴b=2，c=1．

点评 本题考查了正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．