Question

20．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，证明：$\frac{{f'（{x_1}）-f'（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；
（Ⅱ）问题转化为证明$\frac{f′{（x}_{1}）-f′{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$]＞0成立，根据函数的单调性证明ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$]＞0即可．

解答 （Ⅰ）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x•$\frac{1}{x}$=1+lnx，
令f′（x）＞0，则lnx＞-1=ln$\frac{1}{e}$，∴x＞$\frac{1}{e}$；
令f′（x）＜0，则lnx＜-1=ln$\frac{1}{e}$，∴0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的单调增区间是（$\frac{1}{e}$，+∞），单调减区间是（0，$\frac{1}{e}$）．
（Ⅱ）证明：要证$\frac{{f'（{x_1}）-f'（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$成立，
只需证明$\frac{f′{（x}_{1}）-f′{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$
=$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[（lnx₂-lnx₁）-$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$]
=$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$]＞0成立，
由于$\frac{1}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，只需ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$＞0成立，
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
则g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{{（t+1）}^{2}}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）递增，∴g（t）＞g（1）=0，
∴$\frac{{f'（{x_1}）-f'（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}$．

点评 该题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的运算推理能力和转化问题的能力．