Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1+{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，利用奇函数的定义证明即可；
（2）化简函数，即可求函数的值域．

解答 （1）证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
∵f（-x）=$\frac{1+{4}^{-x}}{1-{4}^{-x}}$=-$\frac{1+{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$，
∴f（x）为奇函数；
（2）解：f（x）=$\frac{1+{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1-{4}^{x}}$
∵4^x＞0，∴$\frac{2}{1-{4}^{x}}$＞2
∴f（x）＞1，
∴函数的值域为（1，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数的值域，正确运用奇函数的定义是关键．