Question

19．已知A={x|x²-（2k+2）x+k²+k+5=0}，α∈A，β∈A，则α²+β²的最小值为（　　）

• A． 50
• B． 60
• C． 70
• D． 80

Answer 1

分析 由已知中α，β是方程x²-（2k+2）x+k²+k+5=0，（x∈R）的两个实根，则首先应判断△≥0，即方程有两个实数根，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数）的关系，给出α²+β²的表达式，然后根据二次函数的性质，即可得到出k为何值时，α²+β²有最小值，进而得到这个最小值．

解答 解：若α，β是方程x²-（2k+2）x+k²+k+5=0的两个实根，
则△=（2k+2）²-4（k²+k+5）≥0，解得k≥4，
则α+β=2k+2，αβ=k²+k+5，
则α²+β²=（α+β）²-2αβ=（2k+2）²-2（k²+k+5）
=2k²+6k-6=2（k+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{21}{2}$，
∴当k=4时，α²+β²有最小值，最小值是50．
故选A．

点评 本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系．其中易忽略：方程有两个根时△≥0的限制．