Question

9．a∈R，则$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$的最小值是2，此时a=0．

Answer 1

分析 首先，讲所给式子化简为$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，然后，换元，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：$\frac{{a}^{2}+2}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$
=$\frac{{a}^{2}+1+1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
令$\sqrt{{a}^{2}+1}$=t，（t≥1），
∴y=t+$\frac{1}{t}$，在[1，+∞）上为增函数，
∴t=1时，该函数取得最小值为2，此时a=0．
故答案为：2，0．

点评 本题重点考查了函数的单调性、换元法在求解函数最值中的应用等知识，属于中档题．