Question

17．已知函数f（x）对任意m，n∈R都有f（m+n）=f（m）+f（n）+1，令g（x）=f（x）+1，当x＞0时，g（x）＜0．
（1）求g（0）并判断g（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R上为减函数；
（3）若f（1）=-2，且f（a²-a）＞-3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法结合函数奇偶性的定义即可求g（0）并判断g（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在R上为减函数；
（3）若f（1）=-2，求出f（2）=-3，将不等式f（a²-a）＞-3，进行转化，结合函数的单调性即可求a的取值范围．

解答 解：（1）令m=n=0，则f（0）=f（0）+f（0）+1，即f（0）=-1，
则g（0）=f（0）=+1=-1+1=0，
令m=x，n=-x，
则f（0）=f（x）+f（-x）+1=-1，
即f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∵g（x）=f（x）+1，
∴g（x）=-g（-x），
即g（-x）=-g（x），
则函数g（x）为奇函数；
（2）当x＞0时，g（x）＜0，即x＞0时，f（x）+1＜0，
∴f（x）＜-1，
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）+1-f（x₁）=f（x₂-x₁）+1，
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜-1，
∴f（x₂-x₁）+1＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）是R上的减函数；
（3）若f（1）=-2，则f（1+1）=f（1）+f（1）+1，
即f（2）=-2-2+1=-3，
则不等式f（a²-a）＞-3，等价为f（a²-a）＞f（2），
∵f（x）是R上的减函数，
∴a²-a＜2，
即a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2，
即a的取值范围是（-1，2）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，结合函数奇偶性和单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．