Question

12．已知函数f（x）=b•a^x（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）设g（x）=$\frac{1}{f（x）+3}$-$\frac{1}{6}$，确定函数g（x）的奇偶性；
（2）若对任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}{b}$）^x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点的坐标代入函数解析式，即可求得f（x）与g（x），在利用奇偶性定义判断g（x）是奇函数；
（2）对任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}{b}$）^x≥2m+1恒成立 即可转化为：$（\frac{a}{b}）^{x}$≥2m+1在x≤1上恒成立；

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a•b=6}\\{b•{a}^{3}=24}\end{array}\right.$，⇒a=2，b=3．
∴f（x）=3•2^x；
故g（x）=$\frac{1}{3•{2}^{x}+3}-\frac{1}{6}$；
g（x）定义域为R；
∵g（-x）=$\frac{1}{3•{2}^{-x}+3}-\frac{1}{6}$；
=$\frac{1}{3}（\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}）$；
=-g（x）；
所以，g（x）为奇函数．
（2）设h（x）=$（\frac{a}{b}）^{x}$=$（\frac{2}{3}）^{x}$，则y=h（x）在R上为减函数；
∴当x≤1时，h（x）_min=h（1）=$\frac{2}{3}$；
∵h（x）=$（\frac{a}{b}）^{x}$≥2m+1在x≤1上恒成立：
∴h（x）_min≥2m+1⇒m≤$-\frac{1}{6}$；
故m的取值范围为：（-∞，$-\frac{1}{6}$]．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数恒成立与转化思想的应用，属中等题．