Question

1．已知a＞1，x≥1，y≥1，且log_a²x+log_a²y=log_a（a⁴x⁴）+log_a（a⁴y⁴），则log_a（xy）的取值范围是[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据对数的基本运算进行化简，利用换元法转化为三角函数，利用三角函数的有界限求解．

解答 解：由题意：log_a²x+log_a²y=log_a（a⁴x⁴）+log_a（a⁴y⁴），
化简可得：log_a²x-4log_ax+log_a²y-4log_ay=8
令m=log_ax，n=log_ay，则有：∵n²+m²-4m-4n=8．
log_a（xy）=n+m．
∵a＞1，x≥1，y≥1，
∴n≥0，m≥0，
∵n²+m²-4m-4n=8．
⇒（n-2）²+（m-2）²=4²表示为（2，2）为圆心，半径为4的圆．
令m+n=Z，（Z≥0），则n+m-Z=0．
数形结合法：如图：当直线m+n-Z=0过B点或A点时最小．
当直线m+n-Z=0过C点时最大．
可知：A（2$\sqrt{3}-2$，0）
故得Z_min=2$\sqrt{3}-2$，即为log_a（xy）_min=$2\sqrt{3}-2$．
过C点时，直线与圆相切，d=r=4=$\frac{|4-Z|}{\sqrt{2}}$
解得：Z_max=$4+4\sqrt{2}$，即为log_a（xy）_max=$4+4\sqrt{2}$．
所以：log_a（xy）的取值范围是[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．
故答案为：[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了对数的化简计算和圆与直线的位置关系．属于中档题．