Question

7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=-x²+x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，f（-x）=-f（x），x＞0时，f（x）=-x²+x+1，那么x＜0时，-x＞0，带入f（x）即可求解．．

解答 解：由题意：f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，f（-x）=-f（x）
当x＞0时，f（x）=-x²+x+1，那么x＜0时，-x＞0，
则有：f（-x）=-x²-x+1，
∵f（x）是R上的奇函数，即f（-x）=-f（x）
∴f（-x）=-x²-x+1=-f（x）
即f（x）=x²+x-1，
且f（0）=0．
∴f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x+1，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{{x}^{2}+x-1，（x＜0）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分段函数解析式的求法，利用了奇函数的性质，属于基础题．