Question

已知函数f（x）=

2x+1

x+2

（x≠2，x∈R），数列{a_n}满足a₁=t（t≠-2，t∈R），a_n+1=f（a_n），（n∈N）
（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，求t的值；
（Ⅱ）当a₁=2时，记b_n=

an+1

an-1

（n∈N^*），证明：数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}是常数列，知a_n+1=a_n，解方程即得t的值；
（Ⅱ）由b_n=

an+1

an-1

（n∈N^*），由a_n+1=f（a_n）再化简整理，得b_n+1=3b_n，可证{b_n}是等比数列，先求出{b_n}的通项，再求通项公式a_n

解答： 解  （Ⅰ）∵数列{a_n}是常数列，∴a_n+1=a_n，即t=

2t+1

t+2

，解得t=-1，或t=1．
∴所求实数的值是1或-1．   
（Ⅱ）∵a₁=2时，记b_n=

an+1

an-1

，
∴b₁=3，b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=

2an+1 an+2 +1

2an+1 an+2 -1

=3•

an+1

an-1

，
即b_n+1=3b_n．       
∴数列{b_n}是以b₁=3为首项，公比为q=3的等比数列，于是b_n=3×3^n-1=3ⁿ（n∈N^*），
由b_n=

an+1

an-1

（n∈N^*），即

an+1

an-1

=3ⁿ（n∈N^*），
解得a_n=

3n+1

3n-1

．
∴所求的通项公式a_n=

3n+1

3n-1

．（n∈N^*）

点评：本题考查了常数列，等比数列的通项公式，以及方程的思想，转化能力和计算能力，属于中档题