Question

如图，四边形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=AD=

1

2

PD=2．
（1）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）求点A到面CMP的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）只要证明CD⊥平面AMPD即可；
（2）要求点A到面CMP的距离，只要求三棱锥A-CMP的高，通过计算可得．

解答： （1）证明：∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，∴PM⊥CD，又ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面AMPD，又CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AMPD；
解：（2）设三棱锥A-CMP的高为h，
由（1）知CD⊥平面AMPD，PM⊥平面CDM∴PM⊥CM，PM⊥DM，
又MA=AD=

1

2

PD=2．所以DM=2

2

，CM=2

3

，PM=2

2

，故S_△AMP=

1

2

AM×AD=2，S △CMP=2

6

，∴h=

S△AMP×CD

S△CMP

=

2×2

2 6

=

6

3

，
故三棱锥A-CMP的高为

6

3

，点A到面CMP的距离为

6

3

．

点评：本题考查了面面垂直的判定和通过三棱锥的体积求点到面的距离，属于中档题．