Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值为（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：设正方体的棱长等于1，建立如图空间直角坐标系，得出D、B、C₁、A₁各点的坐标，从而得出

BC1

，

A1D

，

BD

的坐标，然后求出平面的法向量的坐标，利用向量的夹角公式算出

BC1

与法向量的夹角的余弦值＞的值，即得直线BC₁与平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函数关系可得直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值．

解答： 解：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长等于1，可得：
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴

BC1

=（-1，0，1），

A1D

=（-1，0，-1），

BD

=（-1，-1，0），
设

n

=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，
则

n • A1D =0 n • BD =0

，即

x+z=0 x+y=0

，取x=1，得y=z=-1，
∴平面A₁BD的一个法向量为

n

=（1，-1，-1），
设直线BC₁与平面A₁BD所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

BC1 • n

| BC1 || n |

=|

-2

2 × 3

|=

6

3

，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

，即直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

；
故选C．

点评：本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．