Question

【题目】已知函数 在区间 上有最大值 和最小值 .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=2x∈[2，4]， 则y=at2-2at+1-b，t∈[2，4]，

对称轴t=1，a＞0

∴t=2时，ymin=4a-4a+1-b=1， t=4时，ymax=16a-8a+1-b=9， 解得a=1，b=0

（2）解：4x-22x+1-k4x≥0在x∈[-1，1]上有解

设2x=t

∵x∈[-1，1]，

∴t∈[ ，2]

∵f（2x）-k.2x≥0在x∈[-1，1]有解

∴t2-2t+1-kt2≥0在t∈[ ，2]有解

∴k≤ =1- + ，

再令 =m，则m∈[ ，2]

∴k≤m2-2m+1=（m-1）2

令h（m）=m2-2m+1

∴h（m）max=h（2）=1

∴k≤1

故实数k的取值范围（-∞，1]

【解析】（1）先换元，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，利用一元二次函数的性质，求出顶点和闭区间端点的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。
（2）先换元，转化为t2-2t+1-kt2≥0在t∈[ 1 2 ，2]有解，求k的取值范围。将k移到不等式的一边，求出另一侧二次函数的最大值，即可得到k的取值范围，k≤（m-1）2在m∈[ ，2]有解，等价于在[ ，2]，k要小于等于（m-1）2最大值。