Question

定义域为R的函数f(x)=

-2x+1

2x+1+2

，若对任意的 t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先用定义判断函数f（x）的奇偶性、单调性，由奇偶性、单调性可把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为具体不等式，根据二次函数的图象特征可得k的限制不等式，解出即可．

解答：解：定义域R关于原点对称，且f（-x）=

-2-x+1

2-x+1+2

=

-1+2x

2+2x+1

=-f（x），
所以f（x）为奇函数，
又f（x）=-

2x+1-2

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，则f（x）为减函数．
由f（x）为奇函数得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
由f（x）单调递减得，t²-2t＞k-2t²，
所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，等价于t²-2t＞k-2t²恒成立，即3t²-2t-k＞0对任意t恒成立，
所以有4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．
所以k的取值范围是：k＜-

1

3

．
故答案为：k＜-

1

3

．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断及应用，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．