Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1被直线l截得的弦的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求直线l的方程；
（2）求截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）设l与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，两式相减，得k_AB，由此能求出l的方程；
（2）y=3x-2代入椭圆方程，整理可得12x²-12x-71=0，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得截得的弦长．

解答 解：（1）设l与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程，两式相减，得k_AB=-$\frac{75（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=3，
∴l的方程为：y+$\frac{1}{2}$=3（x-$\frac{1}{2}$），即3x-y-2=0；
（2）y=3x-2代入椭圆方程，整理可得12x²-12x-71=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{71}{12}$，
∴截得的弦长为$\sqrt{1+9}$•$\sqrt{1+4•\frac{71}{12}}$=$\frac{2\sqrt{555}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的中点弦的求法，考查点差法的合理运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．