Question

设实数x，y，z满足x+y-z=1，试求x²+3y²+2z²的最小值．

Answer 1

分析：利用题中条件：“x+y-z=1”构造柯西不等式：(x+y-z)2≤[(

2

z)2+(

3

y)2+x2]•[(-

1

2

)2+(

1

3

)2+12]这个条件进行计算即可．

解答：解：由柯西不等式可知：
(x+y-z)2≤[(

2

z)2+(

3

y)2+x2]•[(-

1

2

)2+(

1

3

)2+12]（5分）
故 2z2+3y2+x2≥

6

11

，当且仅当

2 z

- 1 2

=

3 y

1 3

=

x

1

，
即：x=

6

11

，y=

2

11

，z=-

3

11

x²+3y²+2z²的最小值为

6

11

．（10分）

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用 (x+y-z)2≤[(

2

z)2+(

3

y)2+x2]•[(-

1

2

)2+(

1

3

)2+12]解题．