Question

11．函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{{|AB{|^2}}}$叫做曲线y=f（x）在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线y=e^x+x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，则φ（A，B）的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

Answer 1

分析 求出y′=e^x，+1，由定义求出两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“平方弯曲度”，由题意可令t=e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$，
可设f（t）=$\frac{t}{1+（t+1）^{2}}$，t＞0，求出导数和单调区间、极大值和最大值，即可得到所求范围．

解答 解：y=e^x+x的导数为y′=e^x+1，
k_A=e${\;}^{{x}_{1}}$+1，k_B=e${\;}^{{x}_{2}}$+1，
φ（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{{|AB{|^2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}+{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}+1）^{2}}$，
x₁-x₂=1，可得x₁＞x₂，e${\;}^{{x}_{1}}$＞e${\;}^{{x}_{2}}$，
可令t=e${\;}^{{x}_{1}}$-e${\;}^{{x}_{2}}$，
可设f（t）=$\frac{t}{1+（t+1）^{2}}$，t＞0，
f′（t）=$\frac{1+（t+1）^{2}-2t（t+1）}{（1+（t+1）^{2}）^{2}}$=$\frac{2-{t}^{2}}{（1+（t+1））^{2}}$，
当0＜t＜$\sqrt{2}$时，f′（t）＞0，f（t）递增；
当t＞$\sqrt{2}$时，f′（t）＜0，f（t）递减．
则当t=$\sqrt{2}$处f（t）取得极大值，且为最大值$\frac{\sqrt{2}}{1+（\sqrt{2}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
则φ（A，B）∈（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的几何意义和导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查构造法和换元法，化简整理能力，属于中档题．