Question

在4×4的方格中，每个格子都填入1、2、3、4四个数字之一，要求每行、每列都没有重复数字，不同的填法共有（　　）

A．24种

B．144种

C．432种

D．576种

Answer 1

根据题意，第一行有4格，分别填入1、2、3、4四个数字，有A₄⁴=24种填法，
然后对第2行排列，此时有了限制条件，即每列不能与第1行的数重复，这相当于4个元素的全错位排列，有9种方法（可以用穷举法穷举）再对第3行排列，用穷举法：假①设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“4 3 2 1“，
则第3行有“2 1 4 3”、“2 4 1 3“、“3 1 4 2“、“3 4 1 2”4种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
②设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“2 1 4 3”，
则第3行有“34 1 2”、“3 42 1“、“431 2“、“432 1“4种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
③设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“2 34 1“，
则第3行有“341 2”、“412 3”2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
④设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“241 3“，
则第3行有“3 1 4 2”2“432 1”2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑤设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“314 2“，
则第3行有“241 3”、“432 1”；4+2+22种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑥设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“341 2“，
则第3行有“23 4 1”、“2 1 4 3“、“4 12 3“、“432 1”；4种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑦设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“34 2 1“，
则第3行有“2 1 4 3”、“43 1 2”、2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑧第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“41 2 3“，
则第3行有“231 2”、“3 4 1 2”； 2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
⑨设第1行为“1 2 3 4”，
第2行为“4 31 2“，
则第3行有“2 1 4 3”、“3 42 1”；2种如果第1、2、3行确定好了，那么第4行也确定好了，不再考虑，
综上，第二、三、四行的方法数有：4+4+2+2+2+4+2+2+2=24，
所以不同的填法有24×24=576种．
故选D．