Question

20．已知a＞0，函数f（x）=ae^xcosx（x∈[0，+∞]），记x_n为f（x）的从小到大的第n（n∈N^*）个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{f（x_n）}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N^*，x_n≤|f（x_n）|恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8ⁿ＞4n+3，当a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$π${e}^{-\frac{π}{4}}$时，验证得|f（x_n+1）|＞x_n+1，即可得到a的范围．

解答 （Ⅰ）证明：函数f（x）=ae^xcosx的导数为f′（x）=ae^x（cosx-sinx），
a＞0，x≥0，则e^x≥1，
由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+$\frac{π}{4}$，k=0，1，2，…，
当k为奇数时，f′（x）在kπ+$\frac{π}{4}$附近左负右正，
当k为偶数时，f′（x）在kπ+$\frac{π}{4}$附近左正右负．
故x=kπ+$\frac{π}{4}$，k=0，1，2，…，均为极值点，
x_n=（n-1）π+$\frac{π}{4}$=nπ-$\frac{3π}{4}$，
f（x_n）=a${e}^{nπ-\frac{3π}{4}}$cos（nπ-$\frac{3π}{4}$），f（x_n+1）=a${e}^{nπ+\frac{π}{4}}$cos（nπ+$\frac{π}{4}$），
当n为偶数时，f（x_n+1）=-e^πf（x_n），
当n为奇数时，f（x_n+1）=-e^πf（x_n），
即有数列{f（x_n）}是等比数列；
（Ⅱ）解：由于x₁≤|f（x₁）|，则$\frac{π}{4}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$a${e}^{\frac{π}{4}}$，
解得a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$π${e}^{-\frac{π}{4}}$，
下面证明8ⁿ＞4n+3．
当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8^k＞4k+3，
当n=k+1时，8^k+1=8•8^k＞8（4k+3）=32k+24
=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，
即有n=k+1时，不等式成立．
综上可得8ⁿ＞4n+3（n∈N+），
由e^π＞8，
当a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$π${e}^{-\frac{π}{4}}$时，
由（Ⅰ）可得|f（x_n+1）|=|（-e^π）|ⁿ|f（x₁）|
＞8ⁿ|f（x₁）|=8ⁿf（x₁）＞（4n+3）x₁＞x_n+1，n∈N+，
综上可得a≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$π${e}^{-\frac{π}{4}}$成立．

点评 本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．