Question

已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长.

（1）求双曲线的方程

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且为锐角(其中为原点)，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意先设双曲线的方程为，依据题中条件得到、的值，进而由得到的值，进而写出双曲线的方程即可；（2）设，联立直线与双曲线的方程，消去得到，依题意得到，且，要使为锐角，只须即可，从而只须将进行坐标化并将代入，得到，结合、及即可得出的取值范围.

试题解析：（1）依题意可设双曲线的方程为

则有且，所以，

所以该双曲线的方程为

（2）

设

，即

综上：.

考点：1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.直线与双曲线的综合问题；3.平面向量数量积的应用.