Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3×2ⁿ+4（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 由已知数列递推式求出首项，进一步得到${a}_{n}=2{a}_{n-1}+3×{2}^{n-1}$，两边同时除以2ⁿ后可得，数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，由此求得答案．

解答 解：当n=1时，由S_n=2a_n-3×2ⁿ+4，①
得a₁=S₁=2a₁-3×2+4，解得a₁=2；
当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-3×{2}^{n-1}+4$，②
①-②得：${a}_{n}=2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-3×{2}^{n}+3×{2}^{n-1}$（n≥2），
即${a}_{n}=2{a}_{n-1}+3×{2}^{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=\frac{3}{2}$（n≥2），
则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．