Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．
①设B（$\sqrt{2}$，1），且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\sqrt{6}$，求k的值；
②若A与D关于x轴对称，求△AOD的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆O的方程，运用直线和圆相切的条件，求出b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可求出a，进而能求出椭圆方程．
（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求出交点A的坐标，①运用向量的当量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②运用三角形面积公式，结合基本不等式即可得到△AOD的面积最大值．

解答 解：（1）由题设知圆O的方程为x²+y²=b²，
∵直线l：x-y+2=0与圆相切，故有$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}=b$，解得b=$\sqrt{2}$，
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}}\end{array}\right.$，
①∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{6}}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}+\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{6}$，
解得k=$\sqrt{2}$，或k=0（舍），∴k=$\sqrt{2}$．
②∵${S}_{△AOD}=\frac{1}{2}{x}_{0}×2{y}_{0}=k{{x}_{0}}^{2}$
=$\frac{6k}{2+3{k}^{2}}=\frac{6}{\frac{2}{k}+3k}$≤$\frac{6}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
当且仅当k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号．
∴S_△AOD的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d=r，同时考查直线方程和圆方程联立，求交点，考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值的方法，是中档题．