Question

设数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，数列{b_n}满足b_n=

1

an-1

（n∈N^*），则数列{b_n}的前n项和为（　　）

• A、

  2n

  n+1

• B、

  n

  n+1

• C、

  n

  2(n+1)

• D、

  n

  (n+1)(n+2)

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，利用累加法求出数列{a_n}中，a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1=2+2+2+3+…+n=1+

n(n+1)

2

，所以b_n=

1

an-1

=2•

1

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n-a_n-1=n，
a_n-1-a_n-2=n-1，
…
a₃-a₂=3，
a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=2+2+2+3+…+n
=1+

n(n+1)

2

，
∴b_n=

1

an-1

=2•

1

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴数列{b_n}的前n项和为：
Sn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．
故选：A．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和裂项示求和法的合理运用．