Question

下列命题：
①已知△ABC中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，B是△ABC中最大角，且

a

•

b

＜0，则△ABC为钝角三角形；
②若sinA=

4

5

，则

5sinA+8

15cosA-7

=6；
③若sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

且α、β为锐角，则α+β=

π

4

；
④已知数列{a_n}的前n项和S_n=aqⁿ（a≠0，q≠1，q为非零常数），则数列{a_n}为等比数列．
其中正确的命题序号

 

．（注：把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的求值

分析：①利用向量的数量积可判断出cosB＞0，而B是△ABC中最大角，从而可知△ABC为锐角三角形；
②依题意，可求得cosA=±

3

5

，将其代入

5sinA+8

15cosA-7

计算即可判断②；
③利用同角三角函数间的关系及两角和的余弦可判断③；
④令q=-1，可求得a₁、a₂、a₃，从而可判断④．

解答： ?解：①△ABC中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，∵

a

•

b

=|

a

||

b

|cos（π-B）＜0，
∴cosB＞0，又B是△ABC中最大角，
∴△ABC为锐角三角形，故①错误；
②∵sinA=

4

5

，∴cosA=±

1-sin2A

=±

3

5

，
当cosA=

3

5

时，

5sinA+8

15cosA-7

=

5× 4 5 +8

15× 3 5 -7

=6；
当cosA=-

3

5

时，

5sinA+8

15cosA-7

=

5× 4 5 +8

15×(- 3 5 )-7

=-

3

4

≠6，故②错误；
③∵sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

且α、β为锐角，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，同理可得cosβ=

3 10

10

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2 5

5

•

3 10

10

-

5

5

•

10

10

=

2

2

，
∴α+β=

π

4

，故③正确；
④令q=-1，则a₁=-a，a₂=S₂-S₁=a-（-a）=2a，a₃=S₃-S₂=-a-a=-2a，显然a₁、a₂、a₃不能构成等比数列，故④错误；
综上所述，正确的命题序号为：③，
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查向量的数量积的应用，考查同角三角函数间的关系及两角和的余弦，考查等比关系的确定，属于中档题．