Question

11．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-4）x+3a，x≥0\end{array}$满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0对定义域中的任意两个不相等的x₁，x₂都成立，则a的取值范围是$（0，\frac{1}{3}]$．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）在定义域内单调递减，故有 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{0}≥0+3a}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-4）x+3a，x≥0\end{array}$
满足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0对定义域中的任意两个不相等的x₁，x₂都成立，
∴函数f（x）在定义域内单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{0}≥0+3a}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故答案为：$（0，\frac{1}{3}]$．

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．