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    定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

    （1）求证：f（0）=1；

    （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

    （3）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.

    解：令a=b=0    则

        又

      

    （2）证明：当x=0时，f(x)=1>0

             当x>0时，f(x)>1>0

             当x<0时，—x>0，

           则

         

         综上，对任意x∈R恒有f（x）＞0

    （3）设

    则存在正实数a，使得

    则

    又

    即f（x）是定义在R上的单调递增函数。

    解得：

    所以所求x的取值范围是（0，3）

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    0
    ．

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    3
    2
    )f′(x)＞0(x≠
    3
    2
    )    ，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（　　）

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    下列四个命题：
    ①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件；
    ②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；
    ③函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”
    ④定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是“
    f(-x)f(x)
    =1”    ．
    其中真命题的序号是
    ①③
    ①③
    ．（把真命题的序号都填上）

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    定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2011）=
    -1
    -1
    ．

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