Question

10．已知抛物线C：y²=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．

解答 解：设抛物线C：y²=8x的准线为l：x=-2
直线y=k（x+2）恒过定点P（-2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
又∵|FA|=2|FB|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
∵k＞0，
∴点B的坐标为（1，2$\sqrt{2}$），
∴k=$\frac{2\sqrt{2}-0}{1-（-2）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．