Question

5．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜$\frac{1}{4}$（x∈R），则不等式f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由f′（x）＜$\frac{1}{4}$，构造辅助函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=$\frac{1}{2}$，根据f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$，将其转换成g（x²）＜g（2），根据函数单调性即可求得不等的解集．

解答 解：f′（x）＜$\frac{1}{4}$（x∈R），
f′（x）-$\frac{1}{4}$＜0，
设g（x）=f（x）-$\frac{1}{4}$x，
g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{4}$＜0，
∴g（x）是R上的减函数，g（2）=g（2）-$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$，
g（x²）=f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{4}$＜$\frac{1}{2}$=g（2），
∴x²＞2，
解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴原不等式的解集为（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案选：C．

点评 本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键，属于中档题．