Question

设函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)关于的方程在上恰有两个相异实根,求的取值范围.

Answer 1

递增区间是;递减区间是 ;;

( I)函数定义域为.                            .                            
由得或;
由得或.
因此递增区间是;
递减区间是.                                        
(Ⅱ)由(1)知,在上递减,在上递增.                 
又且,
所以时,.                            
故时,不等式恒成立.                              
(Ⅲ)方程即.
记,则.              由得或;
由得.
所以在上递减,在上递增.                               
为使在上恰好有两个相异的实根,只须在和上各有一个实根,于是有,解得            
故实数的取值范围是.