Question

设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．

（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；

（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；

（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．    

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分）      

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．

令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=﹣a；

②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（ ，2）上递减，

所以x=时，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；

③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．

综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2﹣2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为﹣lna﹣1；

③当a≥1时，f（x）最大值为﹣a．      

  （3）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，

所以x²﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，

设g（x）=x²﹣2mlnx﹣2mx，

则g′（x）=，令g′（x）=0，x²﹣mx﹣m=0．

因为m＞0，x＞0，所以x₁=＜0（舍去），x₂=，

当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，

当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增，

当x=x₂时，g（x）取最小值g（x₂）．                 

则

即

所以2mlnx₂+mx₂﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂﹣1=0（*），

设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．

因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即=1，

解得m=．