Question

17．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，且点P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）是椭圆M上一点，直线y=$\frac{1}{2}$x+m（m＜0）与椭圆M交于A，B两点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：△PAB的内心在一条定直线上，并求出此定直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：2a=2•2b，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，联立解出即可得出．
（2）y=$\frac{1}{2}$x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，求出PA，PB的斜率的和为0，进而可得，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，由此可得结论．

解答 （1）解：由题意可得：2a=2•2b，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，联立解得b=1，a=2．
∴椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将y=$\frac{1}{2}$x+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，化简整理得2x²+4mx+4m²-4=0．
于是有x₁+x₂=-2m，x₁x₂=4m²-4，
k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$
上式中，通分后分子=（y₁-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x₂-$\sqrt{2}$）+（y₂-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（x₁-$\sqrt{2}$）
=x₁x₂+（m-$\sqrt{2}$）（x₁+x₂）-2$\sqrt{2}$m+2=0，
从而，k_PA+k_PB=0．
因此，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，
所以△PAB的内切圆的圆心在直线x=$\sqrt{2}$上．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．