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已知椭圆=1上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且=2,点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线l交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足=2,求直线l的方程.
(1)+y2=1(2)y=±x+2
(1)设M(x,y),P(x0,y0),
=2,∴
将其代入椭圆方程得=1
得曲线E的方程为:+y2="1."
(2)设G(x1,y1)、H(x2,y2),
=2,∴x2=2x1                                                                                       
依题意,当直线l斜率不存在时,G(0,1),H(0,-1),不满足=2.故设直线l:y=kx+2,代入曲线E的方程并整理得(1+2k2)x2+8kx+6="0,            "         (*)
∴x1+x2=-,x1·x2=                                              ②
联立①②解得k=±,此时(*)中Δ>0.
所以直线l的方程为:y=±x+2.
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