【题目】如图所示，在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，
，
，
，点E为AD的中点，
，
平面ABCD，且
求证：
；
线段PC上是否存在一点F，使二面角
的余弦值是
？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
推导出
，
，从而
，由
平面
，得
，由此能证明
平面
，从而
推导出
两两垂直，建立以
为坐标原点，
所在直线分别为
，
，
轴的坐标系，利用向量法能求出线段
上存在一点
，当点满足
时，二面角
的余弦值是
证明：
，
，
，
，E为AD的中点，
，
≌
，
，
，
，
，
又
平面ABCD，
平面ABCD，
，
又
，且PH，
平面PEC，
平面PEC，
又
平面PEC，
．
解：
由
可知
∽
，
由题意得
，
，
，
，
，
，
，
、EC、BD两两垂直，
建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，
0，
，
0，，
4，，
0，，
0，
，
假设线段PC上存在一点F满足题意，
与
共线，
存在唯一实数
，
，满足
，
解得
，
设向量
y，
为平面CPD的一个法向量，且
，
，
，取
，得
，
同理得平面CPD的一个法向量
，
二面角的余弦值是，
，
由
，解得
，
，
，
线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；
(2)已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有
套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．
（l）求每个家庭能中签的概率；
（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为
，求的分布列及数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知定义域为A的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈A，都有f(x1＋x2)－f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为“定义域上的M函数”，给出以下五个函数：
①f(x)＝2x＋3，x∈R；②f(x)＝x2，x∈
；③f(x)＝x2＋1，x∈
；④f(x)＝sin x，x∈
；⑤f(x)＝log2x，x∈[2，＋∞)．
其中是“定义域上的M函数”的有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在数列
中，若
(
，
，
为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：
①若是等方差数列，则
是等差数列；
②
是等方差数列；
③若是等方差数列，则
(
，
为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为
__________(写出所有正确命题的序号).
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