Question

函数f（x）=a^x-（m-2）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=2^x[f（x）-k]（k∈R）在[0，1]上的最大值为5，求k的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）利用f（x）是定义域为R的奇函数，得到f（0）=0，求出m=3，再验证，适合题意，得到本题结论；（2）（Ⅱ）由f（1）=

3

2

，得到a=2，
从而求出g（x）的解析式，换元后得到一个二次函数h（t），分类讨论研究二次函数的最大值，得到k=-1，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，
即1-（m-2）=0，
∴m=3．
验证，当m=3时，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，适合题意．
∴m的值为3．
（Ⅱ）∵f（1）=

3

2

，
∴a=2，
即f（x）=2^x-2^-x．
∴g（x）=4^x-k•2^x-1．
令t=2^x，
∵x∈[0，1]，
∴t∈[1，2]，
∴h（t）=t²-kt-1=(t-

k

2

)2-1-

k2

4

，
当

k

2

≤

3

2

时，即k≤3时，
h（t）_max=h（2）=3-2k，
即3-2k=5，得k=-1，
当

k

2

＞

3

2

时，
即k＞3时，
h（t）_max=h（1）=-k，
即-k=5，得k=-5（舍）
∴k=-1．

点评：本题考查了函数的奇偶性、二次函数在区间上的最值，还考查了换元转化的数学思想，本题难度适中，有一定的计算量，属于中档题．