Question

17．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=$\frac{1}{2}{（x-1）^2}$-1．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）当a=0时，若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ[g（x）+x]成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，由此得到f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，根据a≥-1，a≤-e，-e＜a＜-1，进行分类讨论，利用导数性质能求出a的值．
（Ⅲ）推导出lnx-$\frac{1}{2}λ$（x-$\frac{1}{x}$）≤0，令$G（x）=lnx-\frac{1}{2}λ（x-\frac{1}{x}），G'（x）=\frac{{-λ{x^2}+2x-λ}}{{2{x^2}}}$，要所λ≤-1，-1＜λ＜0，λ=0，0＜λ＜1，λ≥1进行分类讨论，利用导数性质能求出λ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，
∴由题意知f（x）的定义域为（0，+∞） …（1分）
且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$．…（3分）
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．…（5分）
（Ⅱ）由（1）可知，f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$．
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{e}{2}$（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\sqrt{e}$．
综上所述，a=-$\sqrt{e}$．
（Ⅲ）∵xf（x）≤λ[g（x）+x]，∴$xlnx≤λ[\frac{1}{2}（x-1）^{2}-1+x]$，
∴xlnx≤λ（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}$），∴lnx-$\frac{1}{2}λ$（x-$\frac{1}{x}$）≤0，
令 $G（x）=lnx-\frac{1}{2}λ（x-\frac{1}{x}），G'（x）=\frac{{-λ{x^2}+2x-λ}}{{2{x^2}}}$，
当λ≤-1时，△=4-4（-λ）（-λ）≤0，故恒有-λx²+2x-λ≥0，
则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）单调递增，
∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
当-1＜λ＜0时，x=-$\frac{2}{2（-λ）}=\frac{1}{λ}＜0$，
故有y=-λx²+2x-λ在区间[1，+∞）上单调递增，
故有-λx²+2x-λ＞2-2λ＞0，则G′（x）≥0恒成立，
故G（x）在区间[1，+∞）上恒单调递增，
∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
当λ=0时，G′（x）=$\frac{2x}{2{x}^{2}}$＞0，故G（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴G（x）≥G（1），这与条件矛盾；
当0＜λ＜1时，设-λx²+2x-λ=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∵${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{λ}＞2，{x}_{1}{x}_{2}=1$，
∴0＜x₁＜1＜x₂，∴x∈（1，x₂）时，-λx²+2x-λ＞0，
故函数G（x）在区间（1，x₂）上单调递增，
∴G（x₂）≥G（1）=0，这与条件矛盾；
当λ≥1时，△=4-4（-λ）（-λ）≤0，故恒有-λx²+2x-λ≤0，
∴G′（x）≤0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
∴G（x）≤G（1）=0，命题成立．
综上所述λ≥1，所以λ的最小值为1．…（12分）

点评 本题考查函数单调性质的判断，考查实数值、导数性质、构造法、函数单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．